อาชีพ “นักคณิตศาสตร์ประกันภัย”
จากข่าวที่ปรากฏบนหน้าหนังสือพิมพ์ The Philadelphia Inquirer ฉบับวันที่ 20 พฤษภาคม 2531 ซึ่งได้มาจากหนังสือที่ตีพิมพ์เป็นเล่ม ชื่อ “The Job Almanac” พิมพ์โดย American Reference Inc. แห่งเมืองชิคาโก สหรัฐอเมริกา ดังปรากฏข้อความในหน้าแรกของบทความนี้ เป็นผลของการสำรวจอาชีพยอดนิยม ซึ่งเป็นที่ชื่นชมของคนอเมริกัน จากทั้งหมด 250 อาชีพ โดยพิจารณาจากเกณฑ์ 6 อย่าง ประกอบด้วย เงินเดือน ความกดดัน สภาพแวดล้อมของการทำงาน โอกาสในอนาคต หลักประกันความมั่นคง และความเหนื่อยยากของร่างกาย ผลปรากฎว่า อาชีพ “Actuary” ได้รับการยกย่องว่าเป็นอาชีพที่ดีที่สุดเป็นอันดับหนึ่ง อันดับรองลงมาได้แก่ อาชีพโปรแกรมเมอร์ นักวิเคราะห์ระบบคอมพิวเตอร์ นักคณิตศาสตร์ และนักสถิติ ตามลำดับ อนึ่ง อาชีพที่ดีที่สุดเป็นอันดับหนึ่งในที่นี้เป็นการจัดอันดับเมื่อพิจารณาจากเกณฑ์ 6 อย่างข้างต้นประกอบเข้าด้วยกัน แต่อาชีพดังกล่าว อาจไม่เป็นอันดับหนึ่งถ้าพิจารณาในแต่ละเกณฑ์ นั้นคือ อาจไม่ใช่อาชีพที่ได้เงินเดือนมากที่สุด หรือมีชื่อเสียงมากที่สุด ก็เป็นได้
ผลจากการสำรวจดังกล่าวข้างต้น คงทำให้หลาย ๆ ท่านเกิดความสังสัย พร้อมกับอาจเกิดคำถามในใจว่า “อาชีพอะไรกัน… Actuary..? ทำไมถึงได้รับยกย่องจากคนอเมริกันว่าเป็นอาชีพที่ดีสุดได้”
ถ้าบอกว่า อาชีพ “Actuary” ที่เป็นข่าวในหน้าแรกของบทความนี้ว่าเป็นอาชีพที่ดีที่สุดของคนอเมริกัน คือ “อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัย” นั่นเอง ท่านรู้จักไหม

นักคณิตศาสตร์ประกันภัย คือ ใคร
หากท่านไม่เคยได้ยินชื่อ นักคณิตศาสตร์ประกันภัยมาก่อนเลย ก็ไม่ใช่เรื่องแปลกประหลาด แม้แต่ในอเมริกา ซึ่งถือว่าเป็นประเทศที่มีความเจริญทางด้านประกันภัยเป็นอย่างมาก โดยเฉพาะการประกันชีวิตจัดว่ามีบทบาทต่อชีวิตประจำวันของคนอเมริกัน ก็ยังมีคนอเมริกันจำนวนไม่น้อยที่ไม่รู้จักนักคณิตศาสตร์ประกันภัย ซึ่งอาจเป็นเพราะนักคณิตศาสตร์ประกันภัยส่วนใหญ่ชอบทำงานอยู่เบี้องหลังความสำเร็จของบริษัทประกันภัย
สำหรับศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิชาทางด้านคณิตศาสตร์ประกันภัย ก็คือ คณิตศาสตร์ประกันภัย หรือที่เรียกกันว่า “Actuarial Science”
นักคณิตศาสตร์ประกันภัย คือ บุคคลซึ่งใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์และสถิติในการวิเคราะห์และประมาณการเกิดเหตุการณ์ ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้กับคนทุกคนในอนาคต เช่น การเกิด การเจ็บป่วย การเกิดอุบัติเหตุ การพิการ การเกษียณอายุ การว่างงาน เป็นต้น เพื่อช่วยให้ประมาณเหตุการณ์ซึ่งน่าจะเกิดขึ้นได้ในอนาคตได้ใกล้เคียงความเป็นจริง โดยการจัดทำในรูปของตาราง เช่น ตารางมรณะ และตารางสุขภาพ (Mortality and Morbidity Experience Tables) แล้วนำผลที่ได้มาใช้ประกอบกับความรู้ด้านการบริหารและการเงิน เพื่อคำนวณอัตราเบี้ยประกันเงินสำรอง และตัวเลขข้อเท็จจริงอื่น ๆ ทางการเงิน ซึ่งจะทำให้บริษัทประกันภัยสามารถดำเนินกิจการได้อย่างราบรื่น มั่นคง และสามารถให้ความคุ้มครองแก่ผู้เอาประกัน หรือผู้รับประโยชน์ได้
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ประกันภัยยังต้องมีความเข้าใจ ในการดำเนินงานทั้งหมดของธุรกิจประกันภัยจะถือเป็นข้อผูกมัดทางการเงินของบริษัทในระยะยาว เป็นเวลาหลาย ๆ ปี จึงมีอิทธิพลอย่างมากต่อนโยบายและการดำเนินงานอย่างเป็นระบบของบริษัท ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์ประกันภัยจึงต้องเกี่ยวข้องกับการดำเนินธุรกิจในหลายขั้นตอน เช่น การจัดการทั่วไป การตลาด การวิจัย การพิจารณารับประกัน การลงทุน การบัญชี การบริหาร และการวางแผนระยะยาว
จากความหมายดังกล่าวข้างต้น อาจกล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่า นักคณิตศาตร์ประกันภัยคือ นักธุรกิจมืออาชีพซึ่งใช้ความเชี่ยวชาญทางคณิตศาสตร์เพื่อกำหนด วิเคราะห์ แก้ปัญหาทางสังคม และทางการเงิน โดยการสร้างโปรแกรมที่จะลดความเสี่ยงทางการเงินของการเกิดเหตุการณ์ที่อาจคาดการณ์ได้ หรือคาดการณ์ไม่ได้ ซึ่งเกิดขึ้นได้กับมนุษย์ นั่นเอง
หน้าที่ความรับผิดชอบของนักคณิตศาสตร์ประกับภัย

จากบทบาทของนักคณิตศาสตร์ประกันภัยดังที่ได้กล่าวมาแล้ว อาจกล่าวได้ว่า หน้าที่และความรับผิดชอบของนักคณิตศาสตร์ประกันภัยอาจรวมถึง

1. นักคณิตศาสตร์ประกันภัยต้องแน่ใจว่า บริษัทประกันภัยมีเงินสดสำรองในมือเพียงพอที่จะจ่ายเงินผลประโยชน์ หรือเงินสินไหมทดแทน ตลอดจนค่าใช้จ่ายต่าง ๆ เมื่อมีการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน หรือเงินเลี้ยงชีพ จากผู้เอาประกัน หรือผู้รับประโยชน์
2. พิจารณากำหนดอัตราเบี้ยประกันที่บริษัทเรียกเก็บจากผู้เอาประกัน ให้มีความยุติธรรมเพียงพอ และสามารถทำให้บริษัทดำเนินกิจการต่อไปได้อย่างราบรื่น และมั่นคง
3. ปรับปรุง และพัฒนาผลิตกรมธรรม์แบบใหม่ ๆ เพื่อสนองความต้องการของสังคมอยู่เสมอ
4. ให้คำแนะนำเจ้าหน้าที่ของบริษัท ในการพิจารณารับประกันว่า รายใดที่รับได้และรายใดที่ควรปฎิเสธ เพราะเหตุใด หากจะรับได้แต่ต้องเพิ่มเบี้ยประกันควรจะเพิ่มในอัตราเท่าใด
5. มีส่วนร่วมในการแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการดำเนินงานของบริษัทในด้านต่าง ๆ
6. เตรียมจัดทำรายงานประจำปี แสดงสถานะทางการเงินของบริษัท เพื่อเสนอต่อสำนักงานประกันภัย และผู้ถือหุ้นของบริษัท
7. วิเคราะห์ผลการดำเนินงานที่ผ่านมาทั้งหมดของบริษัทเมื่อสิ้นปีปฏิทิน เช่น การใช้ข้อสมมุติเกี่ยวกับอัตรามรณะ ค่าใช้จ่าย อัตราดอกเบี้ยจากการลงทุน วิเดราะห์การขาดอายุของกรมธรรม์ เงินคงเหลือจากการดำเนินธุรกิจ เป็นต้น แล้วนำผลที่ได้มาประเมิน และสรุปว่าธุรกิจควรดำเนินต่อไปในทิศทางใด ส่วนใดควรปรับปรุงแก้ไข แบบประกันใดควรยุบหรือยกเลิก หรือควรสนับสนุนต่อไป
การเตรียมตัวเพื่อเข้าสู่อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัย
“ถ้าท่านชอบคณิตศาสตร์ และอยากมีส่วนร่วมต่อสังคมอย่างมีคุณค่า อาชีพพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยอาจเหมาะกับท่าน”
อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยต้องการผู้มีความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี เนื่องจาก งานที่ทำต้องเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ประกอบกับความรู้ ความเชียวชาญทางธุรกิจ ดังนั้น ท่านต้องเป็นผู้มีความกระตือรือร้น มีเหตุมีผล มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ และมีความสามารถในการตัดสินใจ

สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายที่คิดอยากเป็นนักคณิตศาสตร์ประกันภัย ท่านต้องเป็นผู้มีใจรักคณิตศาสตร์ และสอบได้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์อยู่ในเกณฑ์สูงกว่าคะแนนเฉลี่ย
สำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยที่ต้องการเตรียมตัวเพื่อเข้าสู่อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยในอนาคต ควรเลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์ไว้หลาย ๆ วิชาตลอดช่วง 4 ปี โดยเฉพาะวิชาพีชคณิตและการประยุกต์ ควรมีเวลาฝึกฝนให้มาก นอกจากนี้ควรเลือกเรียนวิชาทางแคลคูลัส ความน่าจะเป็น และสถิติศาสตร์
ท่านพึงระลึกถึงเสมอว่า ท่านกำลังเตรียมตัวเพื่อประกอบอาชีพในทางธุรกิจ ดังนั้น เพื่อความสำเร็จในอนาคต ท่านต้องมีการพัฒนาความคิด ความเข้าใจเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมทางธุรกิจอย่างกว้างไกล วิชาการต่าง ๆ ทางธุรกิจที่สำคัญที่ท่านควรเลือกเรียนในมหาวิทยาลัย ได้แก่ การจัดการ บัญชี การเงิน ประกันภัย เศรษฐศาสตร์ และวิชาการทางคอมพิวเตอร์ ซึ่งนับเป็นวิชาที่มีบทบาทสำคัญ และนับเป็นเครื่องมือสำคัญของนักคณิตศาสตร์ประกันภัยในปัจจุบัน การผสมผสานความรู้ความเข้าใจในวิชาการต่าง ๆ ดังกล่าวจะทำให้ท่านพัฒนาความคิดได้อย่างมีประสิทธิภาพ และประสบความสำเร็จในอาชีพนี้

อาจกล่าวได้ว่า การเตรียมตัวที่ดีที่สุดเพื่อเข้าสู่อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยคือ ท่านควรเลือกเรียนวิชาเอกทางด้านคณิตศาสตร์หรือสถิติ หรือวิชาเอกทางด้านบริหารธุรกิจ โดยมีวิชาโททางคณิตศาสตร์หรือสถิติ หรือวิชาเอกทางเศรษฐศาสตร์ โดยมีวิชาคณิตศาสตร์หรือสถิติเป็นวิชาโท
ในประเทศไทยขณะนี้ยังไม่มีมหาวิทยาลัยใดที่เปิดสอนวิชาเอกด้านคณิตศาสตร์ประกันภัยโดยตรง ส่วนใหญ่เปิดสอนเป็นวิชาด้านประกันภัย โดยเน้นหลักการทั่วไปของการประกันภัย ทั้งในส่วนของการประกันวินาศภัย และการประกันชีวิตมากกว่าสอนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประกันภัย โดยมีภาควิชาสถิติ คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเป็นแห่งแรกที่เปิดสอนวิชาเอกด้านประกันภัย โดยมีวิธีด้านคณิตศาสตร์ประกันภัยเป็นวิชาในกลุ่มวิชาเอกนี้ นอกจากนี้ ในหลักสูตรปริญญาโทสถิติได้เปิดสอนวิชาด้านคณิตศาสตร์ประกันภัยในคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ ซึ่งในอดีตที่ผ่านมาจนถึงปัจจุบันเปิดเป็นเพียงวิชาเลือกเท่านั้น ทั้งในหลักสูตรระดับปริญญาตรีและปริญญาโท แต่มีโครงการจะเปิดเป็นหลักสูตรวิชาโทคณิตศาสตร์ประกันภัยในปีการศึกษา 2533 ส่วนวิชาด้านประกันภัยทั่ว ๆ ไป ได้เปิดสอนอยู่แล้วในคณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี
ในประเทศสหรัฐอเมริกาและแคนาดามีมหาวิทยาลัยประมาณ 40 แห่งที่เปิดสอนหลักสูตรคณิตศาสตร์ประกันภัยที่สมบูรณ์แบบ ในระดับปริญญาตรีหรือปริญญาโท ซึ่งนับว่ามีจำนวนน้อย บางมหาวิทยาลัยจัดวิชาด้านนี้อยู่ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์หรือสาขาวิชาสถิติ บางแห่งอาจจัดอยู่ในหลักสูตรบริหารธุรกิจ และบางแห่งจัดเป็นหลักสูตรร่วมกับคณะเศรษฐศาสตร์
อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยในอเมริกา และ แคนาดา

การเป็นนักคณิตศาสตร์ประกันภัยที่มีมาตรฐานของอาชีพเป็นที่ยอมรับกันในอเมริกาและแคนาดา ถ้าท่านสนใจงานในด้านการประกันชีวิต (Life insurance) การประกันสุขภาพ (Health insurance) และการวางแผนเกี่ยวกับเงินเลี้ยงชีพ (Pension Planning) ท่านต้องผ่านการสอบของ Society of Actuaries (SOA) แต่ถ้าท่านสนใจงานทางด้านการประกันวินาศภัย (Casualty insurance) ท่านต้องผ่านการสอบของ Casualty Actuarial Society (CAS) ในที่นี้จะกล่าวถึงเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับ SOA
ข้อสอบของสมาคม SOA มีทั้งหมด 10 ตอน ถ้าท่านผ่านการสอบทั้ง 10 ตอนท่านจะได้รับวุฒิบัตรเป็น Fellow ของสมาคม (F.S.A.) ซึ่งจัดเป็นคุณวุฒิสูงสุดสายอาชีพที่มีมาตรฐานเป็นที่ยอมรับทั่วโลก ความยากของการเป็น F.S.A. เปรียบเหมือนกับความยากในการทำปริญญาเอกทางคณิตศาสตร์ บริหารธุรกิจ หรือเศรษฐศาสตร์ ถ้าท่านสอบผ่านเพียง 5 ตอนแรก ท่านจะได้รับวุฒิบัตรเป็น Associate ของสมาคม (A.S.A.) และจะได้เป็นสมาชิกของสมาคม SOA ด้วย
การได้เป็น A.S.A. หรือ F.S.A. ของ SOA จะทำให้ท่านเป็นที่ยอมรับในมาตรฐานของวิชาชีพ และสามารถทำงานในบริษัทประกันชีวิตและหน่วยงานที่เกี่ยวข้องได้ทั่วโลก และได้รับค่าตอบแทนค่อนข้างสูง
จากข้อมูลในปี พ.ศ. 2527 พบว่า มีบริษัทประกันชีวิตและสุขภาพในอเมริกาและแคนาดาจำนวน 2,362 บริษัท และมีการว่าจ้างงานในหน่วยงานดังกล่าวถึงประมาณ 1 ล้านคน นอกจากนี้พบว่า มีประชาชนชาวอเมริกันสนใจทำประกันชีวิตถึงประมาณ 200% กล่าวคือ โดยเฉลี่ยประชาชนแต่ละคนจะถือกรมธรรม์ประกันชีวิตคนละ 2 ฉบับ
จะเห็นได้ว่า อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยนี้ ท่านไม่จำเป็นต้องจบด้านคณิตศาสตร์ประกันภัยโดยตรง เพียงแต่ท่านต้องสอบผ่านข้อสอบของ SOA หรือ CAS ท่านก็สามารถทำงานเป็นนักคณิตศาสตร์ประกันภัยได้ การเรียนจบด้านคณิตศาสตร์ประกันภัยจะช่วยให้ท่านผ่านการสอบ 5 ตอนแรกได้เร็วขึ้นเท่านั้น ด้วยเหตุนี้อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยจึงเปิดกว้างสำหรับทุกท่านที่สนใจและมีคุณสมบัติเหมาะสม ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว เท่าที่ผ่านมาพบว่า นักศึกษาที่สนใจเข้าสู่อาชีพนี้มักจะหาประสบการณ์โดยการฝึกงานภาคฤดูร้อนกับบริษัทประกันชีวิตและหน่วยงานที่เกี่ยวข้อง ซึ่งให้ความร่วมมือและสนับสนุนการฝึกงานของนักศึกษาเป็นอย่างมาก
อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยในประเทศไทย

ในประเทศไทย ได้มีการก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์ประกันภัยแห่งประเทศไทย (Acturial Association of Thailand) ขึ้นเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2517 โดยมีวัตถุประสงค์ที่จะส่งเสริมวิชาชีพคณิตศาสตร์ประกันภัยให้ก้าวหน้า เพื่อสามารถรับใช้ประเทศชาติในด้านการประกันชีวิตและประกันภัยอื่น ๆ แต่สมาคมดังกล่าวยังไม่ได้มีบทบาทในการดำเนินการจัดสอนวิชาชีพคณิตศาสตร์ประกันภัยโดยตรงเหมือนในอเมริกา แต่มีการให้วุฒิบัตรเป็น Fellow ของสมาคม โดยผู้ที่จะได้ต้องสำเร็จปริญญาตรีหรือสูงกว่าหลักสูตรคณิตศาสตร์ประกันภัย หรือสำเร็จหลักสูตรคณิตศาสตร์ประกันภัยจากสถาบันซึ่งสมาคมคณิตศาสตร์ประกันภัยรับรอง และหลังจากนั้นได้ปฏิบัติงานคณิตศาสตร์ประกันภัยมาแล้วเป็นเวลาไม่น้อยกว่า 5 ปี หรือไม่ก็เป็นสมาชิกระดับ Fellow ของสมาคมคณิตศาสตร์ประกันภัยที่นานาชาติรับรอง เช่น F.S.A. หรือ F.I.A. (Fellow จาก Institute of Actuaries ของสหราชอาณาจักร) และขณะนี้ยังดำรงสมาชิกภาพนั้นอยู่
ในอดีตที่ผ่านมา มีผู้สนใจและเห็นความสำคัญของการประกันชีวิตในประเทศไทยจำนวนน้อย สังเกตได้จากผู้สนใจทำประกันชีวิตเพียง 4% เท่านั้นจากประชากรทั้งหมด ซึ่งน้อยมากเมื่อเทียบกับอารยประเทศ เช่น อเมริกา ญี่ปุ่น ที่มีคนทำประกันชีวิตสูงมาก ประมาณ 200% ยิ่งคนไทยที่มีความรู้คณิตศาสตร์ประกันภัยยิ่งหายากมาก บริษัทประกันชีวิตส่วนใหญ่จึงต้องจ้างชาวต่างประเทศไทยมาเป็นที่ปรึกษา

ในช่วงเวลา 2 ปีที่ท่านมา การประกันชีวิตในประเทศไทยได้เจริญเติบโตขึ้นอย่างรวดเร็ว มีผู้สนใจและเห็นความสำคัญของการทำประกันชีวิตมากขึ้น จะเห็นได้จากในช่วง 3 เดือนแรกของปี 2532 มีอัตราการเติบโตถึง 28% เมื่อเทียบกับช่วงเดียวกันของปีที่แล้ว โดยพิจารณาจากเบี้ยประกันชีวิตรับโดยตรงของบริษัทประกันชีวิตทั้งหมด 12 บริษัท (รวมเบี้ยประกันภัยปีแรกและปีต่อไป) ประมาณ 3,129 ล้านบาท ซึ่งคาดการณ์ได้ว่าเมื่อรวมทั้งปีจะคิดเป็นเงินไม่ต่ำกว่าหมื่นล้านบาท เงินดังกล่าวนี้จะช่วยพัฒนาการลงทุนในประเทศและทำให้เศรษฐกิจส่วนรวมของประเทศเจริญเติบโตได้เป็นอย่างมาก
บทสรุป

จากข้อมูลที่กล่าวมาแล้วข้างต้นคงจะช่วยให้หลาย ๆ ท่านได้รู้จักนักคณิตศาสตร์ประกันภัย ตลอดจนบทบาทหน้าที่ ความรับผิดชอบที่มีต่อสังคมและต่อการดำเนินงานของธุรกิจประกันภัยให้ราบรื่น มั่นคง และเจริญก้าวหน้า อาจกล่าวได้ว่า ตราบใดที่ยังมีการค้าธุรกิจและการเสี่ยงภัยของครอบครัวซึ่งอาจจะเกิดจากการสูญเสียชีวิตของหัวหน้าครอบครัว ตราบนั้น นักคณิตศาสตร์ประกันภัยก็จะยังเป็นที่ต้องการอยู่ จึงไม่เป็นการผิดพลาดที่จะกล่าวว่า ปัญหาการเสี่ยงภัยของสังคมนั้นนับวันก็จะขยายวงกว้างออกไปทุกที ซึ่งจะก่อให้เกิดปัญหาที่จะต้องอาศัยนักคณิตศาสตร์ประกันภัยเพิ่มขึ้นเป็นเงาตามตัว แต่ในประเทศไทยขณะนี้ยังขาดแคลนผู้มีความรู้ ความสามารถด้านนี้อยู่ไม่น้อย ทั้งนี้อาจเป็นเพราะความไม่รู้ ไม่เข้าใจเกี่ยวกับบทบาท หน้าที่ และความรับผิดชอบของนักคณิตศาสตร์ประกันภัยต่อธุรกิจประกันภัยและต่อสังคมก็เป็นได้
บทความนี้จึงเขียนขึ้นเพื่อมุ่งหวังให้บุคคลหลาย ๆ ฝ่ายที่เกี่ยวข้องทั้งนักคณิตศาสตร์ นักสถิติ นักธุรกิจ นักเศรษฐศาสตร์ ตลอดจนนักเรียน นักศึกษา และผู้สนใจจะเข้าสู่อาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัย ซึ่งอาจไม่เคยมีความรู้มาก่อน หรือมีบ้างเล็กน้อยเกี่ยวกับอาชีพนักคณิตศาสตร์ประกันภัยได้มีความรู้ ความเข้าใจ และเห็นความสำคัญของนักคณิตศาสตร์ประกันภัย ช่วยกันส่งเสริมและเผยแพร่วิชาการด้านนี้ให้นักเรียน นักศึกษา นักวิชาการ และบุคคลทั่วไปที่สนใจได้รู้จัก และเข้าใจ เพื่อวันข้างหน้าในอนาคต ประเทศไทยจะได้มีนักคณิตศาสตร์ประกันภัยที่มีความสามารถ อันจะนำพาให้กิจการประกันภัยมีความเจริญก้าวหน้า เป็นหลักประกันความมั่นคงของสังคม ซึ่งจะส่งผลให้เศรษฐกิจของประเทศมีความมั่นคงและเจริญก้าวหน้า ทัดเทียมอารยประเทศในอนาคตอันใกล้นี้

การจำลองแบบด้วยคณิตศาสตร์

ธรรมชาติสร้างสิ่งต่าง ๆ วิวัฒนาการสร้างสิ่งมีชีวิต สร้างสิ่งแวดล้อมที่สมดุลย์ มนุษย์เป็นผลของธรรมชาติที่เกิดขึ้นในโลก มนุษย์เป็นสัตว์ที่มีพัฒนาการได้มากที่สุด มนุษย์มีมันสมอง มีความฝึกคิด มีการเรียนรู้และเข้าใจในสิ่งต่าง ๆ ได้มาก ความอยู่รอดของมนุษย์จึงขึ้นอยู่กับสติปัญญาหากพิจารณาดูจะพบว่ามนุษย์ปราศจากเขี้ยวเล็บ หรืออาวุธประจำร่างกาย แต่สามารถดำรงชีวิตที่ยาวนานและมีพัฒนาการความเป็นอยู่ได้ดีกว่าสัตว์อื่น ๆ มากมาย

ภาษาที่มนุษย์ใช้สื่อสารก็เป็นส่วนหนึ่งของวิวัฒนาการทางธรรมชาติ ภาษาเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ภาษาที่ใช้สื่อสารกันจึงเรียกว่าภาษาธรรมชาติ (natural language) เป็นผลมาจากวิวัฒนาการทางสังคมและความเป็นอยู่ที่รวมกลุ่มกัน การรวมกลุ่มกันเพื่อพึ่งพาอาศัยและสร้างความอบอุ่นในเรื่องจิตใจ ภาษาจึงมีการแบ่งแยกตามกลุ่มชนเป็นภาษาเฉพาะต่าง ๆ

คณิตศาสตร์ก็แบ่งแยกเป็นสาขา การแบ่งแยกเป็นสาขาเพราะมนุษย์ได้พัฒนาการเรียนรู้ และวิชาการต่าง ๆ ขึ้นมาเพื่อ การพัฒนาวิชาการด้านคณิตศาสตร์ก็เพื่อที่จะใช้เป็นเครื่องมือในการอธิบายสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติ การพัฒนาคณิตศาสตร์ตั้งแต่การนับจำนวนผลไม้ที่มนุษย์มี จนถึงคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์ทางธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีทางฟิสิกส์ การใช้ในงานทางด้านวิศวกรรม เช่น ทฤษฎีของยูคลิดทำให้มนุษย์สามารถเข้าใจจักรวาล เข้าใจการเคลื่อนที่ของดวงดาวเคราะห์ในท้องฟ้า จนถึงการพัฒนาสิ่งก่อสร้าง สร้างบ้านเรือน ที่อยู่อาศัยซึ่งก็ต้องใช้คณิตศาสตร์ต่าง ๆ เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีระบบ แนวคิดในการอธิบายปรากฎการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ ส่วนใหญ่ใช้ทฤษฎีระบบ ลองนึกดูว่าหากเราจินตนาการคอมพิวเตอร์ หลายคนมีความคิดในสมองที่แตกต่างกัน บางคนนึกถึงเครื่องคำนวณอิเล็กทรอนิกส์ที่คำนวณได้รวดเร็ว บางคนนึกถึงกล่องสี่เหลี่ยมที่ภายในมีซีพียู บางคนนึกถึงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่ทำงานด้านรหัสตัวเลข ฐาน ลอง ความคิดในเรื่องเดียวกันแต่นึกคิดแตกต่างกัน อาจจะจินตนาการในมุมมองต่างกัน ดังนั้นคอมพิวเตอร์จึงมีลักษณะตามความนึกคิด ซึ่งแก่นแท้จะกลายเป็น มโนทัศน์ หรือจินตภาพ ซึ่งเราอาจจะเรียกความนึกคิดลึก ๆ เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ที่มีอยู่ในสมองนี้ว่า concept ซึ่งหากวิเคราะห์ดู จะเป็นว่าภายในมโนภาพเหล่านั้นประกอบด้วย ออปเจ็ก แอตตริบิ้ว ความสัมพันธ์ และระบบ

ออปเจ็ก (objects) เป็นส่วนที่สำคัญของระบบ เช่นในตัวอย่างของระบบโมเลกูลของกาซ ออปเจ็กก็คือโมเลกูล หรือในระบบการซื้อการขาย ระบบการตลาด ออปเจ็กก็คือผู้ซื้อผู้ขาย

สำหรับแอตตริบิ้ว ก็คือคุณสมบัติของออปเจ็ก เช่น สี รูปร่าง น้ำหนัก หรือคำอธิบายที่จะให้รายละเอียดข้อมูลออปเจ็ก เช่นกรณีของบุคคลก็มีแอตตริบิ้วประกอบว่า ซื้ออะไร อายุเท่าไร อยู่ที่ไหน จะติดต่อทางโทรศัพท์ได้อย่างไร ยังมีส่วนประกอบที่สำคัญคือ ความสัมพันธ์ คือส่วนที่เกี่ยวข้องระหว่างกัน สังเกตุว่าการรับรู้ออปเจ็กเป็นเพราะมีแอตตริบิ้วเป็นส่วนประกอบอธิบาย ความเกี่ยวข้องกันจึงเป็นความเชื่อมโยงระหว่างแอตตริบิ้วของออปเจ็กกับแอตตริบิ้วอื่นของออปเจ็ก หรืออาจพิจารณาได้ว่าออปเจ็กมีการเชื่อมโยงระหว่างกัน เช่น อาจารย์ มีลูกศิษย์ ลูกศิษย์หรือนักเรียน เรียนวิชาและ อาจารย์ก็สอนหนังสือในวิชาต่าง ๆ

จากความสัมพันธ์เหล่านี้จึงเขียนเกี่ยวโยงกันเป็นระบบ โดยระบบถ้าไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ กับเวลา โดยที่พารามิเตอร์ของแอตตริบิ้วไม่เปลี่ยนแปลงกับเวลา เราก็เรียกว่า สแตติก แต่หากมีการเปลี่ยนแปลงกับเวลา ตัวอย่างเช่น สปริงที่เมื่อมีแรงกด และเกิดการสั่นสเทือนเราก็เรียกว่าระบบนั้นเป็นระบบไดนามิก

สิ่งแวดล้อม สิ่งแวดล้อมของระบบเป็นกลุ่มของออปเจ็กที่อยู่ภายนอกระบบซึ่งอาจจะมีความสัมพันธ์กับระบบภายใน ส่วนของระบบที่พิจารณากับสิ่งแวดล้อม คือ ระบบเปิด (open system) คือระบบที่มีความสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม และระบบปิด (close system) คือระบบที่คิดเฉพาะภายในระบบ โดยให้ข้อสมมุติว่า ไม่มีส่วนเกี่ยวข้อง หรือ มีความสัมพันธ์กับออปเจ็กอื่นในสิ่งแวดล้อม

ระบบจริง (real system) คือส่วนของการอธิบายสถานะจริง หรือเหตุการณ์จริง ซึ่งเกี่ยวข้องกับปรากฎการณ์ธรรมชาติ หรือวิถีทางธรรมชาติ

ระบบตามความนึกคิด (Abstract system) เป็นระบบที่สร้างขึ้นตามความนึกคิด โดยไม่เกี่ยวข้องกับระบบจริง เป็นความนึกคิดหรือจินตนาการ เช่น x1 x2 เป็นตัวแปรจำนวนจริงสองตัว x1 และ x2 เป็นออปเจ็ก โดยมีแอตตริบิ้วเป็นค่าขนาด สมมุติว่าตัวแปรทั้งสองมีความสัมพันธ์เป็นไปตามสมการ

a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2

ความสัมพันธ์ในลักษณะนี้เป็นความสัมพันธ์ของโมเดลตามแนวความนึกคิดที่ใช้คณิตศาสตร์เป็นตัวนำ x1 และ x2 มีค่าความสัมพันธ์คงที่ เราก็เรียกระบบนี้ว่าสแตติก

แต่ถ้าความสัมพันธ์ตามความนึกคิดที่เขียนขึ้นได้ตามสมการคณิตศาสตร์โดยมีการเปลี่ยนแปลงกับเวลา เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ x1 และ x2 ต่อเวลาคือ และ

= a11 x1 + a12 x2
= a21 x1 + a22 x2

การเลี้ยงวัว

Posted: กุมภาพันธ์ 16, 2013 in Uncategorized

ดูเดนี่ (Dudeney) ได้นำเสนอไว้ในหนังสือ 536 puzzles and Curious Problems ซึ่งจัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Souvenir Press ในปี 1967

การนำเสนอคราวนี้แตกต่างกันตรงที่ โมเดลนี้ได้เปลี่ยนจากเดือนเป็นปี และการเลี้ยงวัวนี้เน้นที่แม่วัว โดยให้มีการผสมกับพ่อวัว โดยนับเฉพาะแม่วัว โดยให้แม่วัวออกลูกมาเป็นเพศเมียทุก ๆ ปี และวัวที่เลี้ยงไม่มีการตาย (สมมติให้ผสมเทียม) ถ้าผ่านไป 12 ปีแล้วจะมีวัวทั้งหมดกี่ตัว

การเลี้ยงวัวคราวนี้ดูจะไกล้กับฟาร์มโคนมที่เลี้ยงกันอยู่ จำนวนวัวที่มีอยู่จึงมีตามอนุกรมฟิโบนักชี เช่นกัน

อย่างไรก็ดี การพิจารณาให้เป็นธรรมชาติยังมีข้อท้วงติงอยู่บ้างว่า ถ้าวัวออกลูกมาเป็นตัวผู้ก็จะไม่ได้ตามอนุกรม

เพื่อให้เห็นเป็นธรรมชาติ และเป็นสถานะการณ์ของชีวิตจริง คงต้องดูจากวงจรชีวิตของผื้ง ซึ่งโมเดลผึ้งพอจะเรียกได้ว่าเป็นโมเดลสมจริง

ธรรมชาติสร้างสรรสิ่งต่าง ๆ ได้ลงตัวอย่างพอเหมาะ ความสมดุลย์ทางธรรมชาติก่อให้เกิดสิ่งต่าง ๆ ทั้งสิ่งที่มีชีวิต และสิ่งที่ไม่มีชีวิต
หากเริ่มต้นจากชีวิตร่างกายของมนุษย์ ร่างกายของเราประกอบด้วยอวัยวะต่าง ๆ ที่ทำงานร่วมกัน มี ปอด หัวใจ ตับ ไต ลำไส้ เส้นเลือด ผิวหนัง กลไกการทำงานของร่างกายเป็นที่อัศจรรย์ใจยิ่งนัก เมื่อพิจารณาจากการศึกษาให้ลึกซึ้งพบว่า ทุกอวัยวะของร่างกายประกอบด้วยเนื้อเยื้อ เนื้อเยื่อเหล่านี้เป็นส่วนประกอบรวมกันเป็นชิ้นอวัยวะ หากพิจารณาพินิจพิเคราะห์เนื้อเยื่อจะปรากฏหน่วยเล็ก ๆ ที่เรียกว่า เซล เซลจึงเป็นส่วนประกอบของมนุษย์ที่เล็ก ๆ สิ่งมีชีวิตอื่นก็เช่นเดียวกันคือประกอบด้วยเซลและผลิตภัณฑ์ประกอบอยู่ในเซล

ภายในเซลประกอบด้วยโมเลกุลของสสาร โมเลกุลเหล่านี้จับตัวรวมกันเป็นกลุ่มก้อน และมีอะตอมของสารเป็นส่วนประกอบ ภายในอะตอมมีนิวเคลียส และรอบ ๆ นิวเคลียสมีอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบ ๆ ส่วนของนิวเคลียสประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน; การศึกษาของเรากำลังศึกษาในรายละเอียดระดับโมเลกุลมากขึ้น เพื่อให้รู้ถึงความสลับซับซ้อนของร่างกายมนุษย์ที่มีอยู่ การศึกษาของมนุษย์จึงเรียนรู้ปรากฏการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ เพื่อเปิดเผยความเร้นลับ
ขณะเดียวกัน ชีวิตความเป็นอยู่ของผู้คนก็ต้องอาศัยสิ่งแวดล้อม อาศัยแสงแดด อากาศ น้ำ สิ่งที่ อยู่รอบ ๆตัว ที่เรียกว่า สิ่งแวดล้อม การศึกษาทางคณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานของชีวิตตั้งแต่ระดับอะตอมลงมา ถึงสิ่งแวดล้อมทางธรรมชาติต่าง ๆ มากมาย หากเริ่มจากชีวิตของมนุษย์ที่อาศัยอยู่บนพื้นดิน ความเกี่ยวข้องจึงเข้ามาสัมพันธ์กับดิน ฟ้า เวลา และดวงดาวต่างๆ สรรพสิ่งทุกสิ่งทุกอย่างเกี่ยวข้องกันเป็นธรรมชาติ

สิ่งมีชีวิตและสิ่งที่อยู่รอบ ๆ ตัวเรานี้อาศัยอยู่ในไบโอสเฟียส์ ซึ่งจัดได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของโลก โลกเป็นสมาชิกหนึ่งในระบบสุริยะจักรวาล ซึ่งประกอบด้วยดาวเคราะห์อีกหลายดวงซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ การโคจรมีกฏเกณฑ์ และใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ และ อิทธิพลของดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์และดวงดาวอื่นๆ

การศึกษายังบอกได้ว่าดวงอาทิตย์เปรียบเทียบเป็นฝุ่นเล็ก ๆ อยู่ในกลุ่มดาวขนาดมากมาย ที่เรียกว่า ทางช้างเผือก (milky way) ซึ่งกลุ่มดาวในระบบทางช้างเผือกนี้เรียกว่า กาแล็กซี่ และมีชื่อกาแลกซี่ที่ดวงอาทิตย์อยู่ด้วยว่า “กาแลกซี่ของเรา – our galaxy” กาแลกซี่ทางช้างเผือกก็เป็นหนึ่งในบรรดาที่มีกาแลกซี่อีกมากมาย และรวมเป็นกลุ่มขนาดใหญ่ที่เรียกว่า galactic cluster
การศึกษาของเราจึงต้องหาวิธีการอธิบายสิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นเองในธรรมชาติ ตั้งแต่เป็นสิ่งที่เล็กที่สุดในระดับอิเล็กตรอน หรือสิ่งที่ใหญ่ในระดับกาแลกซี่ การศึกษาของเราอาศัยกลไกการเรียนรู้ที่สมอง ซึ่งยากที่จะอธิบายได้ว่าโครงสร้างความรู้ที่เราศึกษาเป็นอย่างไร แต่การศึกษาเราใช้หลักการเชื่อมโยง เหมือนที่เราใช้ในเครือข่ายเวิล์ดไวด์ เวบนี้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ และความจริงทางธรรมชาติจึงมีมากมาย คณิตศาสตร์จึงเป็นหน่วยเสริมที่ใช้อธิบายชีวิตต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยสาขาต่าง ๆ มากมาย เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ดาราศาสตร์ วิศวกรรม เทคโนโลยีต่าง ๆ หรือแม้แต่กลไกการทำงานของคอมพิวเตอร์ที่ใช้ระบบตัวเลขฐานสองก็ใช้หลัก การคิดคำนวณและตรรกศาสตร์พื้นฐาน
วิชาคณิตศาสตร์จึงเป็นวิชาความรู้ที่ใช้อธิบายเรื่องราวต่าง ๆ เพื่อความรอบรู้ด้านต่าง ๆ รวมถึงวิทยาการทางด้านสังคมด้านปราชญ์

เด็กที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์

คำนิยามของเด็กที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์
ริดจ์ และเคนซูลี (Ridag and Kenzulli. 1981 : 208-209) กล่าวไว้ว่า
1. มีความสามารถโดดเด่นมากทางคณิตศาสตร์
2. มีความมมานะมุ่งมั่นต่องานทางคณิตศาสตร์มาก
3. มีความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์เหนือกว่าปกติ

ลักษณะของเด็กที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์
1. สนใจแผนที่ ลูกโลก แผนภูมิ ปฏิทิน เวลา ตัวเลข
2. ชอบตั้งคำถามแบบนามธรรม เช่น เรื่องของเวลา อวกาศ มิติของเวลา
3. ชอบเล่นตัวต่อยากๆ หรือของเล่นที่เกี่ยวกับการสร้างรูปทรง
4. ชอบชั่ง ตวง วัด นับ จัดลำดับหมวดหมู่สิ่งของ
5. สามารถเข้าใจความหมายของจำนวน และตัวเลขได้เร็วกว่าเพื่อนในวัยเดียวกัน
6. รู้จักตัวเลขหนึ่งหลักหรือสองหลัก นับจำนวนสิ่งของให้สัมพันธ์กับตัวเลขได้
7. มีความเข้าใจเกี่ยวการใช้เงินและค่าของเงิน
8. สามรถจับความสำคัญของปัญหาได้ดีโยงกับเรื่องอื่นได้
9. สามารถสรุปความคิดในเชิงคณิตศาสตร์ได้อย่างรวดเร็ว
10. สามารถคิดข้ามขั้นตอนในเชิงตรรกวิทยาได้อย่างถูกต้อง
11. สามารถตอบคำถามที่แนบเนียนกระทัดรัด
12. เปลี่ยนแนวคิดได้ในกรณีจำเป็น
13. มักจะจดจำความสัมพันธ์ต่างๆ ของปัญหาและหลักการของคำตอบได้ดี
14. รักและหลงใหลในตัวเลข ชอบหมกหมุ่นกับสิ่งที่เกี่ยวกับตัวเลข
15. มีความสามารถในการแก้โจทย์ปัญหา ทั้งในลักษณะมีรูปแบบตายตัวและไม่ตายตัว
16. ชอบตั้งคำถามที่เป็นเหตุผลต่อกัน เช่น ถ้า..แล้ว, ดังนั้น, เพราะว่า, ถ้าไม่..แล้ว..
17. ชอบจัดหมวดหมู่สิ่งของหรือวาดรูปในลักษณะที่เรียงจากขนาดใหญ่ไปหาเล็กหรือเล็กไปหาใหญ่
18. ชอบวาดรุปแบบทรงเรขาหรือลักษณะสมดุลทุกอย่าง
19. ชอบเรียงของเล่นตามขนาดของสิ่งของ ไม่ใช่จากคุณลักษณะอื่น
20. มีระดับ IQ 120 หรือสูงกว่า

สมัยบาบิโลนและอียิปต์
ในสมัย 5,000 ปีมาแล้ว ชาวบาบิโลน (อยู่ในประเทศอิรักทุกวันนี้) และชาวอียิปต์รู้จักเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวน รู้จักเลข เศษส่วน รู้จักใช้ลูกคิดบวก ลบ คูณ หารตัวเลข ความรู้เกี่ยวกับจำนวนได้นำมาใช้ในการติดต่อค้าขาย การเก็บภาษี การรู้จักทำปฏิทิน และการรู้จักใช้มาตรฐานเกี่ยวกับเวลา เช่น 1 ปีมี 365 วัน 1 วันมี 24 ชั่วโมง 1 ชั่วโมงมี 60 นาที 1 นาทีมี 60 วินาที ความรู้ทางเรขาคณิต เช่น การวัดระยะทาง การวัดมุม นำมาใช้ในการก่อสร้างและการรังวัดที่ดิน เขาสนใจคณิตศาสตร์ในด้านนำไปใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น
สมัยกรีกและโรมัน
ในสมัย 2,600 ปีถึง 2,300 ปีที่แล้ว ชาวกรีกได้รับความรู้ทางคณิตศาสตร์จากชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ชาวกรีกเป็นนักคิดชอบการใช้เหตุผล เขาเห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เป็นแต่เพียงเกร็ดความรู้ที่ใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น เขาจึงได้วางกฎเกณฑ์ทำให้คณิตศาสตร์กลายเป็นวิชาที่มีเหตุผล มีการพิสูจน์ให้เห็นจริง เป็นวิชาที่น่ารู้ไว้เพิ่มพูนสติปัญญา นักคณิตศาสตร์ที่สำคัญในสมัยนี้ คือ

เธลีส (Thales ประมาณ 640-546 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ชาวกรีก เป็นคนแรกที่คำนวณหาความสูงของพีระมิดในอียิปต์โดยใช้เงา เขาได้ทำนายว่าจะเกิดสุริยคราสล่วงหน้าซึ่งได้เกิดขึ้นก่อนพุทธศักราช 42 ปี รู้จักพิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิต เช่น เส้นผ่านศูนย์กลางจะแบ่งครึ่งวงกลม มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน และมุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก เป็นต้น

ปีทาโกรัส (Pythagoras ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเป็นผู้ริเริ่มตั้งโรงเรียนสอนวิชาคณิตศาสตร์และปรัชญา ปีทาโกรัสและศิษย์สนใจเรื่องราวของจำนวนมาก เขาคิดว่าวิชาการต่างๆ และการงานแทบทุกชนิดของมนุษย์จะต้องมีจำนวนเข้ามาเกี่ยวข้องอยู่ด้วยเสมอ การเรียนรู้เรื่องของจำนวนก็คือการเรียนรู้เรื่องราวต่างๆ ของธรรมชาตินั่นเอง

ยูคลิด (Euclid ประมาณ 450-380 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ได้รวบรวมเรขาคณิตขึ้นเป็นตำราที่มีชื่อเสียงมาก เป็นการวางพื้นฐานการเรียนเรขาคณิตโดยกล่าวถึงจุด เส้นและรูป เช่น รูปสามเหลี่ยมและวงกลม จากข้อความที่ยูคลิดถือว่าเป็นจริงแล้วประมาณ 10 ข้อความ เช่น “มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดได้” เป็นต้น อาศัยการใช้เหตุผล ยูคลิดพบทฤษฎีบท (ข้อความที่พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง) ถึง 465 ทฤษฎีบท ตำราของยูคลิดกล่าวถึงทฤษฎีบท และการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ โดยเริ่มจากทฤษฎีบทที่ง่ายที่สุด และค่อยๆ ยากขึ้นเป็นลำดับ นอกจากนี้ยูคลิดยังได้ศึกษาเกี่ยวกับจำนวนอีกด้วย

อาร์คีมีดีส (Archimedes ประมาณ 287-212 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ชาวกรีก สนใจการหาพื้นที่วงกลม ปริมาตรของทรงกระบอกและกรวย นักคณิตศาสตร์สมัยนี้รู้จักคำนวณอตรรกยะ เช่น และ (พาย) และสามารถคำนวณค่าโดยประมาณได้โดยใช้เศษส่วน อาร์คีมีดีสพบว่า มีค่าประมาณ วิธีการหาค่า (นำไปสู่การค้นพบวิชาแคลคูลัส นอกจากนี้อาร์คีมีดีส เคยประดิษฐ์ระหัดทดน้ำ พบกฎการลอยตัวและกฎเกณฑ์ของคานงัด และได้นำไปใช้ในการสร้างเครื่องผ่อนแรงสำหรับยกของหนัก
ส่วนชาวโรมัน สนใจคณิตศาสตร์ในด้านนำไปใช้ในการก่อสร้าง ธุรกิจและการทหาร ตัวเลขแบบโรมันเป็นดังนี้
เลขโรมัน I II III IV V VI VII VIII IX X C
เลขฮินดูอารบิค 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
สมัยกลาง
(ประมาณ พ.ศ. 1072-1979) อาณาจักรโรมันเสื่อมสลายลงในปี พ.ศ. 1019 ชาวอาหรับรับการถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์จากกรีก ได้รับความรู้เรื่องจำนวนศูนย์ และวิธีเขียนตัวเลขแบบใหม่จากอินเดีย ตัวเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ที่เราใช้กันทุกวันนี้ จึงมีชื่อว่า ฮินดูอารบิค ชาวอาหรับแปลตำราภาษากรีกออกเป็นภาษาอาหรับไว้มากมาย ทั้งทางดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์และแพทยศาสตร์
สมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา
(ประมาณ พ.ศ. 1980-2143) สงครามครูเสดระหว่างชาวยุโรปกับชาวอาหรับ ซึ่งกินเวลาร่วม 300 ปี สิ้นสุดลง ชาวยุโรปเริ่มฟื้นฟูทางการศึกษา และมีการก่อตั้งมหาวิทยาลัยกันขึ้น ชาวยุโรปได้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์จากตำราของชาวอาหรับ ในปี พ.ศ. 1983 คนรู้จักวิธีพิมพ์หนังสือ ไม่ต้องคัดลอกดังเช่นแต่ก่อน ตำราคณิตศาสตร์จึงแพร่หลายทั่วไป ชาวยุโรปแล่นเรือมาค้าขายกับอาหรับ อินเดีย ชวา และไทย ในปี พ.ศ. 2035 คริสโตเฟอร์ โคลัมบัส (Christopher Columbus ประมาณ ค.ศ. 1451-1506) นักเดินเรือชาวอิตาเลียนแล่นเรือไปพบทวีปอเมริกาใน พ.ศ. 2054 ชาวโปรตุเกสเข้ามาค้าขายในกรุงศรีอยุธยา การค้าขายเจริญรุ่งเรือง ชาวโลกสนใจคณิตศาสตร์มากขึ้นเพราะใช้เป็นประโยชน์ได้มากในการค้าขายและเดินเรือ เราพบตำราคณิตศาสตร์ภาษาเยอรมัน พิมพ์ใน พ.ศ. 2032 มีการใช้เครื่องหมาย + และ – ตำราคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายมากคือตำราเกี่ยวกับเลขาคณิต อธิบายวิธีบวก ลบ คูณ หารจำนวนโดยไม่ต้องใช้ลูกคิด การหารยาวก็เริ่มต้นมาจากสมัยนี้ และยังคงใช้กันอยู่ตราบเท่าปัจจุบัน นักดาราศาสตร์ใช้คณิตศาสตร์ในงานค้นคว้าเกี่ยวกับดวงดาวบนท้องฟ้า นิโคลัส คอเปอร์นิคัส (Nicolus Copernicus ค.ศ. 1473-1543) นักดาราศาสตร์ผู้อ้างว่าโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์เกิดในสมัยนี้
การเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
(ประมาณ ค.ศ. 2144-2343) เริ่มต้นประมาณแผ่นดินสมเด็จพระนเรศวรมหาราช แห่งกรุงศรีอยุธยาจนถึงแผ่นดิน
สมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช แห่งกรุงรัตนโกสินทร์

ในรอบสองร้อยปี ต่อมาความเจริญทางด้านดาราศาสตร์ การเดินเรือ การค้า การก่อสร้าง ทำให้จำเป็นต้องคิดเลขให้ได้เร็วและถูกต้อง ในปี พ.ศ. 2157 เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. 1550-1617) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับลอการิทึม ซึ่งเป็นวิธีคูณ หาร และการยกกำลังจำนวนมากๆ ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องและรวดเร็ว ในที่สุดก็มีการประดิษฐ์บรรทัดคำนวณขึ้นโดยใช้หลักเกณฑ์ของลอการิทึม

นอกจากนี้ยังมีนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกคือ เรอเน เดส์การ์ตส์ (Rene Descartes ค.ศ. 1596-1650) พบวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) และปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat
ค.ศ. 1601-1665) พบวิชาความน่าจะเป็น ทั้งสามท่านนี้เป็นชาวฝรั่งเศส ปาสกาลได้รับการยกย่องว่าเป็นคนแรกที่ประดิษฐ์เครื่องคิดเลข เซอร์ ไอแซกนิวตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ. 1642-1727) นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิตส์ (Gottfried Wilhelm Leibnitz ค.ศ. 1646-1716 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน) พบวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็นวิชาที่นำไปใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวาง การค้นพบวิชาแคลคูลัสในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบกฎทางวิทยาศาสตร์ของนิวตัน เช่น กฎของการเคลื่อนที่ ทฤษฎีของการโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นความก้าวหน้าของวิทยาการสมัยใหม่ ผลงานของนักคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในสมัย 100 ปี ต่อมามุ่งไปในแนวใช้แคลคูลัสให้เป็นประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ และวิชาฟิสิกส์แขนงต่างๆ

นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในสมัยนี้มี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ค.ศ. 1707-1783) ชาวสวิสผู้ให้กำเนิดทฤษฎีว่าด้วยกราฟ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสมี โชแซฟ ลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ปิแยร์ ซิมง เดอ ลาปลาซ (Pierre Simon de Laplace ค.ศ. 1749-1827) ใช้แคลคูลัสสร้างทฤษฎีของกลศาสตร์ และกลศาสตร์ฟากฟ้าซึ่งเป็นพื้นฐานของวิศวกรรมศาสตร์ และดาราศาสตร์
สมัยปัจจุบัน
(ประมาณ พ.ศ. 2344-ปัจจุบัน) เริ่มประมาณแผ่นดินพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหล้านภาลัย นักคณิตศาสตร์ในสมัยนี้สนใจในเรื่องรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ (วิชาว่าด้วยการใช้เหตุผล) นำผลงานของนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนมาวิเคราะห์ใคร่ครวญ สิ่งใดที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนเคยกล่าวว่าเป็นจริงแล้ว นักคณิตศาสตร์รุ่นนี้ก็นำมาคิดหาทางพิสูจน์ให้เห็นจริง ทำให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เดิมมีพื้นฐานมั่นคง มีหลักมีเกณฑ์ที่จะอธิบายให้เข้าใจได้ว่า การคิดคำนวณต่างๆ ต้องทำเช่นนั้นเช่นนี้เพราะเหตุใด ในขณะเดียวกันก็ได้สร้างคณิตศาสตร์แขนงใหม่ๆ ให้เกิดขึ้นเพื่อนำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ เหมาะสมกับสภาพสังคมปัจจุบัน จะขอกล่าวถึงนักคณิตศาสตร์ และแขนงใหม่ของคณิตศาสตร์ในสมัยนี้พอสังเขป

คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานดีเด่นทางคณิตศาสตร์มากมายหลายด้าน ได้แก่ พีชคณิต การวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ รวมทั้งดาราศาสตร์และฟิสิกส์

นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ. 1792-1856) นักคณิตศาสตร์ชาวรุสเซีย และ จาโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ. 1802-1860) นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี ได้รับการยกย่องให้เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตนอกระบบยูคลิดในส่วนเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิก

นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. 1802-1829) นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ มีผลงานในด้านพีชคณิตและการวิเคราะห์ เมื่ออายุประมาณ 19 ปี เขาพิสูจน์ได้ว่าสมการกำลังห้าที่มีตัวแปรตัวเดียวในรูปทั่วไป (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) จะไม่สามารถหาคำตอบโดยวิธีพีชคณิตได้เสมอไปเหมือนสมการที่มีกำลังต่ำกว่าห้า นอกจากนี้ยังมีผลงานอื่นๆ ในด้านทฤษฎีของอนุกรม อนันต์ ฟังก์ชันอดิศัย กลุ่มจตุรงค์ และฟังก์ชันเชิงวงรี

เซอร์ วิลเลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir William Rowan Hamilton ค.ศ. 1805-1865) นักคณิตศาสตร์ชาวไอริส มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ในปี ค.ศ. 1843 เขาได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป a + bi + cj + dk โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง i2 = j2 = k2 = ijk = -1ควอเทอร์เนียน มีคุณสมบัติต่างไปจากจำนวนธรรมดาสามัญ กล่าวคือไม่มีสมบัติการสลับที่ เมื่อพูดถึงจำนวน เรามักจะคิดว่า จำนวนตัวหน้าคูณจำนวนตัวหลัง จะได้ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวหลังคูณจำนวนตัวหน้า เขียนได้ในรูป ab = ba แต่ควอเทอร์เนียนไม่เป็นเช่นนั้น ij = k แต่ ji = -k แสดงว่า ij ji แฮมิลทันได้รับเกียรติว่าเป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเมตริกร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์ (James Joseph Sylvester ค.ศ. 1814-1897) และอาร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur Cayley ค.ศ. 1821-1895) ทั้งสองท่านนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ

แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann ค.ศ. 1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานในด้านเรขา คณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวิชาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพันธภาพสมัยปัจจุบัน

คาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass ค.ศ. 1815-1897) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานในด้านการวิเคราะห์ เป็นผู้นิยามฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้อนุกรมกำลัง สร้างทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรี และแคลลูลัสของการแปรผัน

จอร์จ บลู (George Boole ค.ศ. 1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษมีผลงานในด้านตรรกศาสตร์ พีชคณิต การวิเคราะห์ แคลลูลัสของการแปรผัน ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาพีชคณิตแบบบูล

เกออร์จ คันเตอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845-1917) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเป็นผู้ริเริ่มนำเซตมาใช้ในการอธิบายเรื่องราวทางคณิตศาสตร์ และได้รับผลสำเร็จเป็นอย่างดี เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาทฤษฎีเซต ความรู้เกี่ยวกับเซตทำให้เรา
ทราบเรื่องราวเกี่ยวกับจำนวนจริงและจำนวนอนันต์เพิ่มขึ้น ต่อมานักคณิตศาสตร์อีกหลายท่านได้ช่วยกันปรับปรุงเรื่องเซตให้สมบูรณ์จนเป็นที่ยอมรับและนำไปใช้อย่างกว้างขวางในวิชาคณิตศาสตร์

โยเชียห์ วิลลาร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันมีผลงานในด้านวิชาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ และวิชากลศาสตร์เชิงสถิติ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเวกเตอร์วิเคราะห์

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. ๑๘๗๙-๑๙๕๕) นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ใช้คณิตศาสตร์สร้างทฤษฎีสัมพันธภาพ เป็นเหตุให้ความคิดเห็นเกี่ยวกับเอกภพและสสารซึ่งเชื่อกันมาแต่เดิมเปลี่ยนแปลงไป ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สมัยปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์และอวกาศ ต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ประยุกต์แบบใหม่

จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. ๑๙๐๓-๑๙๕๗) นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี มีผลงานทั้งในด้านคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ คณิตศาสตร์ประยุกต์และเศรษฐศาสตร์ เช่น ทฤษฎีควอนตัม ทฤษฎีคอมพิวเตอร์และการออกแบบคอมพิวเตอร์ กำหนดการเชิงเส้น กลุ่มจตุรงค์ต่อเนื่อง ตรรกศาสตร์ ความน่าจะเป็น เป็นผู้ให้กำเนิดทฤษฎีการเสี่ยง

คณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เกิดขึ้นในสมัยปัจจุบันได้แก่ทฤษฎีเซต กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2435 โทโพโลยี กำเนิดเมื่อ
พ.ศ. 2438 ทฤษฎีการเสี่ยง กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2474 และกำหนดการเชิงเส้น กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2490

คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็นเกร็ดความรู้ที่มนุษย์นำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการดำรงชีวิตในสมัยสี่พันปีก่อนค่อยๆ มีกฎเกณฑ์ทวีเพิ่มพูนขึ้นตลอดมา คณิตศาสตร์เปรียบเหมือนต้นไม้ นับวันจะผลิดอกออกผลนำประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษย์ทุกยุคทุกสมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่เยาวชนของชาติ จึงมีความสำคัญอย่างมาก

เชื่อมเกาะกับเมืองด้วยเส้นตรง
น้อยคนนักที่จะเห็นว่าวิชาคณิตศาสตร์นี่สนุก ส่วนมากแล้วพอบอกว่าจะต้องเรียนคณิตศาสตร์ ทุกคนก็เริ่ม ทำหน้าเสียกันแล้วใช่ไหมครับ มันมีหลายเหตุผลที่จะทำให้คนเราเกลียดบางสิ่งบางอย่างได้ เหตุผลหลักก็คงจะเป็นที่ ได้รับประสบการณ์ที่ไม่ดีกับวิชาคณิตศาสตร์ เช่น คุณครูวิชานี้ดุมาก เลยไม่อยาก ไปเจอหน้าคุณครูเลย หรือไม่ก็เจอหัวข้อที่ฟังเท่าไรก็ไม่เข้าใจ เพราะมันมีแต่ตัว เอกซ์ ตัว วาย อะไรก็ไม่รู้เต็มกระดานไปหมด หลายๆคนก็เลยเกิดอาการกลัววิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมา แต่ความจริงแล้วนะครับ มันก็ยังมีอีกหลายส่วน ของวิชาคณิตศาสตร์ ที่ทั้งสนุก และ ง่ายต่อการเข้าใจ และ ที่สำคัญเอาไปใช้ประโยชน์ได้เยอะมากๆด้วย ก่อนอื่นก็จะเล่านิทานที่มาที่ไปของวิชานี่สักหน่อยนะครับ ก็สมัยเมื่อสัก 200 กว่าปีมาแล้วก็มีกระทาชายนายหนื่งชื่อว่า Leonhard Euler อาศัยอยู่ในเมือง Konigsberg ในเมืองนี้ก็มีเกาะสองเกาะตั้งอยู่กลางแม่น้ำ Pregel และ มีสะพานเชื่อมเกาะท้ังสองกับฝั่ง ดังในรูปนะค่ะ

467

 

ด้วยความที่เป็นคนช่างคิดช่างสงสัย ประจวบกับการที่ต้องเดินไปมา ระหว่างเกาะทั้งสองนี้ ก็เลยตั้งคำถาม ถามตัวเองขึ้นมาว่า มันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินผ่านเมืองท้ั้งสีี่ โดยเดินข้ามสะพานทุกสะพาน สะพานละหนื่งคร้ัง แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น เอาละสิสงสัยนายคนนี้จะบ้าหรืิอเปล่าอยู่ดีไม่ว่าดี ก็ถามคำถามไร้สาระขึ้นมา แล้วคำถามก็ไม่ใช่ว่า จะเข้าใจง่ายๆเลยด้วย เอาอย่างนี้ละกัน หยิบดินสอขึ้นมานะครับ ลองเร่ิมจากเมืองที่หนื่ง แล้วพยายามลากผ่านทุุกเมือง แต่ให้ผ่านสะพานเพียงครั้ัั่งเดียว (ลากดินสอผ่านได้ครั้งเดียว) เป็นไงครับทดลองทุกวิถีทางหรือยังครับ ทำไม่ได้ใช่ไหมครับก็ไม่ต้องตกใจนะครับ เราได้ พยายามทุกวิธีแล้ว เช่นกัน ครับ ขนาดนายออยเลอร์ก็กุมขมับ อยู่นาน แต่ด้วยความที่ นายออย์เลอร์ ไม่ย้อท้อต่ออุปสรรค และ การเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ดี เค้าก็ถามตัวเองต่อไปอักว่าทำไมถึงทำไม่ได้ นายออยเลอร์ก็ได้ใช้พลังลมปราณน์ที่ได้้ฝืกปรือมา ต่อสู้กับปัญหานี้้อยู่เป็นเวลานาน พอสมควรแต่ก็ไม่สำเร็จ จนนายออย์เลอร์ต้อง คิดท่ากระบวนเพลงใหม่ที่เอามาใช้ต่อสู้กับเจ้าปัญหาที่ก่อกัวใจอยู่ กระบวนท่านี้ง่ายมาก ไม่ต้องใช้กำลังภายในมาก ท่าเริ่มของกระบวนท่าก็ จับเอาวงกลมเป็นตัวแทนเมืองและเกาะ แล้วแทนสะพานแต่ละสะพาน ที่เชื่อมเกาะกับเมืองด้วยเส้นตรง ก็ลองดูในรูปที่สองนะค่ะ

468

เราเรียกวงกลมว่า Node และ เส้นตรงว่า Edge นายออย์เลอร์ก็ให้คำตอบกับตัวเองได้ว่า ทำไมถึงทำอย่างที่อยากจะทำไม่ได้ นายออย์เลอร์บอกว่าจะทำอย่างนั้นได้ก็ต่อเมื่อทุกๆวงกลม ต้องมีเส้นตรงที่ติดอยู่ เป็นเลขคู่ ท่าไม่เชื่อก็ทดลองด้วยการวาดรูปแบบต่างๆ แล้วก็พยายามทำความเข้าใจดูนะครับว่า ทำไมถึงไม่ได้ ด้วย ความที่นายออย์เลอร์ได้คิดกระบวนท่าขึ้นมาใหม่ เราก็ได้ตั้งชื่อกระบวนท่าใหม่นี้ว่า วิชากราฟ Graph และก็ยกย่องให้ เป็นบุคคลแรกที่ริเร่ิมใช้กราฟนะครับ อย่าไปสับสนกับการวาดกราฟนะครับ

เป็นไงครับได้เรียนรู้ประวัติเล็กๆน้อยๆของวิชานี้ไปกันแล้ว คราวนี้ลองมาดูประโยชน์ของวิชานี้กันหน่อยนะครับ ก็ประเทศจีนเพื่อนบ้านเรียงเคียง ของเรานี่ละครับ ด้วยความที่หมู่บ้านมันใหญ่ ทำให้บุรุษไปรษณีย์ต้องทำงานหนักด้วยการ เดินส่งจดหมายให้แต่ละบ้้านทุกบ้าน นักคณิตศาสตร์จีนชื่อ Mei-Ko ก็็ได้นำวิชากราฟมาใช้ และ คำถามที่มีีก็เหมือนกับ คำถามที่นายออย์เลอร์ถาม เพราะว่าบุรุษไปรษณีย์ ต้องการเดินส่งจดหมายโดยเดินให้สั้นที่สุด ก็คืิอเดินบนถนนแต่ละเส้นเพียงคร้ัง เดียวถ้าเป็นไปได้ คราวนี้ปัญหาเริ่มยากขึ้นเพราะว่า เราต้องพิจารณาระยะทางบนถนนแต่ละเส้นด้วย หลายๆคน คงจะถามว่าจะใช้กระบวนท่ากราฟยังไง ก่อนอื่นก็ให้วงกลมแทนแยกต่างๆ และเส้นตรงแทนถนน ท่ี่เชื่อมต่อแยกต่างๆ โดยมีระยะทาง กำกับบนเส้นตรงนั้นด้วย

 469

ก่อนจะจบก็ขอกล่าวถึงปัญหาอีกปัญหาที่มีชื่อเสียงมาก และมีการนำเอาปัญหานี้ ไปประยุกต์ใช้ท่ัวไปได้มากมาย ปัญหานี้มีชื่อว่า Traveling Salemen ชื่อของปัญหาก็บอกอยู่แล้วนะครับ เป็นปัญหาของคนขายของที่ต้องเดินทางไปยังเมือง ต่างๆ โดยต้องไปทุกเมือง และใช้ระยะทางที่สั้นที่สุด แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น ปัญหาดูง่ายๆมากเลยใช่ไหมครับ แต่นักคณิตศาสตร์ได้จัดให้ปัญหานี้ เป็นปัญหาที่ยาก (ทำไมถึงยาก แล้วอะไรคือคำว่า ยากไว้ค่อยอธิบายกันคราวหลังนะครับ) ทำไมปัญหานี้ถึงได้สำคัญนักหนา ก็เพราะว่าเราสามารถ เอาไปประยุกต์ใช้ได้เยอะแยะมากมาย ตัวอย่าง ที่ค่อนค้างจะเป็นที่ ไกลตัวหน่อยนะครับ คือ ว่าในการผลิตวัสดุบางอย่าง ที่ใช้แขนหุ่นยนต์ช่วยในการผลิต และ ประกอบชิ้นส่วนนะครับ แขนกลนี้จะต้องหยิบชิ้นส่วนต่างๆ ขึ้นมาเพื่อประกอบเข้ากัน การที่แขนเคลื่อนย้ายไปมา ก็ใช้ระยะเวลาใช่ไหมครับเพราะฉะน้ัน เราก็ต้องการให้แขนของหุ่นยนต์นี้ใช้เวลาน้อย ที่สุด และ หยิบประกอบชิ้นส่วนทุกช้ิน ถ้าใครนึกไม่ออกว่ามันเกี่ยวกันยังไง ลองนึกว่าระยะเวลาที่ใช้เป็นระยะทาง และ ชิ้นส่วนที่หยิบขึ้น เป็นเมืองที่คนขายของต้องไป เป็นไงครับ ถึงบางอ้อกันหรือยัง ยังมีปัญหาอีกมากมายที่ใช้กราฟไปช่วย ในการแปลปัญหาที่มีในชีวิตประจำวัน ให้เป็นภาษาของคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เรา สามารถแก้ปัญหาเหล่านั้นได้ดีขึ้น เราสามารถแม้กระทั้งใช้กราฟ ช่วยแก้ปัญหาการจราจรที่ ติดขัดบนท้องถนนได้ ใช้ไปช่วยในการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดหมายหนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งโดยใช่เส้นทางที่รถไม่ค่อยติด หรือว่าใช้กราฟใน การแก้ป้ญหา การจัดตารางการเรียนการสอน ให้กับคุณครูโดยจัดให้เหมาะสมกับเวลาของคุณครู และความสามารถในการสอนของคุณครูด้วย หรือจัดตารางการบินให้กับพนักงานขับเครื่องบิน และพนักงานโดยให้ตารางเวลาของพนักงานเหมาะสม แม้กระท้ัง ใช้กราฟช่วยหาจำนวนเครื่องบิน ที่จะสามารถบริการตามตารางที่จัดมา เช่น เท่ียวบินกรุงเทพ-เชียงใหม่วันละ สาม เที่ยว กรุงเทพ-ภูเก็ต สี่เที่ยว กรุงเทพ-ขอนแก่น สาม เที่ยว แล้วตารางเวลาบินอาจจะเหลื่อมกันบ้าง จึงทำให้จำนวนของเครื่องบินที่จำเป็นต้องมีเป็น สี่ลำ หลายๆคนอาจจะเริ่มสงสัยแล้วว่าจะต้องกระบวนท่าพิเศษเพิ่มขึ้นมาอย่างไร เอาไว้ถ้ามีคนสนใจกันจะนำเสนอต่อไปนะครับ คราวนี้คงจะเห็นประโยชน์และความสนุกของวิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมาบ้างนะครับ
ก่อนจากกันก็ขอท้ิงเกมส์ให้เล่นกัน สองเกมส์นะครับ
เกมส์แรกก็ง่ายมาก ให้ลากเส้นเชื่อมตัวอักษรที่เหมือนกันโดยที่ไม่ลากตัดกับเส้นเชื่อมกันของตัวอักษรอื่นๆ เช่น เส้นเชื่อม A-A ไม่ตัดกับ ของ B-B

472

เกมส์ที่สองก็ให้เอาเหรียญ์บาทไปใส่ไว้ที่ช่องเลข สอง และ เหรียญห้าบาทใส่ไว้ในช่องเลข สิบห้า ผู้เล่นผลัดกันเดินและเดินไปในช่องที่ติดกันได้เท่านั้น เช่น ช่อง 2 ไป 1, 3, 7 และ 8 ได้ เหรียญบาทเริ่มเล่นก่อน และ ต้องเดินไปอยู่ในช่องเดียวกับเหรียญห้าบาทให้ได้ภายใน 7 ครั้งของการเดิน ใครสามารถบอกวิธีการเล่นที่จะทำให้ผู้เล่นคนหนึ่งชนะตลอดเวลา

471